লেখচিত্রের সাহায্যে সরল সহসমীকরণের সমাধান (৬.৪)

অষ্টম শ্রেণি (মাধ্যমিক ২০২৫) - গণিত সরল সহসমীকরণ | - | NCTB BOOK

399

দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণে দুইটি সরল সমীকরণ থাকে। দুইটি সরল সমীকরণের জন্য লেখ অঙ্কন করলে দুইটি সরলরেখা পাওয়া যায়। এদের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক উভয় সরলরেখায় অবস্থিত। এই ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক অর্থাৎ (x, y) প্রদত্ত সরল সহসমীকরণের মূল হবে। x ও y -এর প্রাপ্ত মান দ্বারা সমীকরণ দুইটি যুগপৎ সিদ্ধ হবে । অতএব, সরল সহসমীকরণ যুগলের একমাত্র সমাধান যা, ছেদবিন্দুটির ভুজ ও কোটি। মন্তব্য : সরলরেখা দুইটি সমান্তরাল হলে, প্রদত্ত সহসমীকরণের কোনো সমাধান নেই।

উদাহরণ ৬। লেখের সাহায্যে সমাধান কর :

x + y = 7..…………(i)

x - y =1……………….(ii)

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ (i) হতে পাই,

y = 7 - x…………….(iii)

x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করি :

x	-2	-1	0	1	2	3	4
y	9	8	7	6	5	4	3

ছক-১

আবার, সমীকরণ (ii) হতে পাই,

y = x - 1…………….…(iv)

x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করি :

x	-2	-1	0	1	2	3	4
y	-3	-2	-1	0	1	2	3

ছক-২

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x -অক্ষ ও y-অক্ষ এবং o মূলবিন্দু।

উভয় অক্ষের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। ছক-১ এ (-2, 9), (–1, 8), (0, 7), (1, 6), (2, 5), (3, 4) ও ( 4, 3 ) বিন্দুগুলোকে ছক কাগজে স্থাপন করি । এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে সমীকরণ (i) দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাটির লেখ পাই,

আবার, ছক-২ এ (−2, – 3), (–1, – 2), (0, – 1), (1, 0), (2, 1), (3, 2) ও ( 4, 3 ) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে (ii) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাটির লেখ পাই। এই সরলরেখাটি পূর্বোক্ত সরলরেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু উভয় সরলরেখার সাধারণ বিন্দু। এর স্থানাঙ্ক উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে। লেখ থেকে দেখা যায়, A বিন্দুর ভুজ 4 এবং কোটি 3 । নির্ণেয় সমাধান (x,y) = ( 4, 3)

উদাহরণ ৭। লেখের সাহায্যে সমাধান কর :

3x + 4y - 10…………..(i)

x - y = 1……………(ii)

সমীকরণ (i) হতে পাই,

4y = 10 -3x

$y = \frac{10 - 3 x}{4}$

x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করি

x	-2	0	2	4	6
y	4	$\frac{5}{2}$	1	$\frac{- 1}{2}$	-2

ছক-১

(ii) এর সমীকরণ হতে পাই,

y=x-1

x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করি :

x	-2	0	2	4	6
y	-3	-1	1	3	5

ছক-২

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x- অক্ষ ও y-অক্ষ এবং 0 মূলবিন্দু।

উভয় অক্ষের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি । ছক-১ এ (-2, 4), $(0, \frac{5}{2}),$ (2, 1), $(4, \frac{- 1}{2})$ ও (6, -2)

বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি । এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। যা (i) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।

আবার, ছক-২ এ (−2, – 3), (0, – 1), (2, 1), ( 4, 3 ) ও (6, 5) বিন্দুগুলো লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল । যা, (ii) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।

এই সরলরেখাটি পূর্বোক্ত সরলরেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু উভয় সরলরেখার সাধারণ বিন্দু। এর স্থানাঙ্ক উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে। লেখ থেকে দেখা যায় যে, A বিন্দুর ভুজ 2 এবং কোটি 1 । নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

common.content_added_and_updated_by

Rezwan Siddiki Tamim

সরল সহসমীকরণ দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান অনুশীলনী ৬.১ বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন ও সমাধান অনুশীলনী ৬.২

0 of 0

array:20 [▼"x-https" => array:1 [▶ 0 => "1" ] "sec-fetch-dest" => array:1 [▶ 0 => "document" ] "sec-fetch-user" => array:1 [▶ 0 => "?1" ] "sec-fetch-mode" => array:1 [▶ 0 => "navigate" ] "sec-fetch-site" => array:1 [▶ 0 => "none" ] "accept" => array:1 [▶ 0 => "text/html,application/xhtml+xml,application/xml;q=0.9,image/avif,image/webp,image/apng,*/*;q=0.8,application/signed-exchange;v=b3;q=0.7" ] "user-agent" => array:1 [▶ 0 => "Mozilla/5.0 AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko; compatible; ClaudeBot/1.0; +claudebot@anthropic.com)" ] "upgrade-insecure-requests" => array:1 [▶ 0 => "1" ] "sec-ch-ua-platform" => array:1 [▶ 0 => ""Windows"" ] "sec-ch-ua-mobile" => array:1 [▶ 0 => "?0" ] "sec-ch-ua" => array:1 [▶ 0 => ""HeadlessChrome";v="129", "Not=A?Brand";v="8", "Chromium";v="129"" ] "cache-control" => array:1 [▶ 0 => "no-cache" ] "pragma" => array:1 [▶ 0 => "no-cache" ] "x-real-ip" => array:1 [▶ 0 => "18.223.126.246" ] "x-forwarded-server" => array:1 [▶ 0 => "debugerror.xyz" ] "x-forwarded-proto" => array:1 [▶ 0 => "https" ] "x-forwarded-port" => array:1 [▶ 0 => "443" ] "x-forwarded-host" => array:1 [▶ 0 => "debugerror.xyz" ] "x-forwarded-for" => array:1 [▶ 0 => "18.223.126.246" ] "host" => array:1 [▶ 0 => "debugerror.xyz" ]]

0 of 0

array:7 [▼"content-type" => array:1 [▶ 0 => "text/html; charset=UTF-8" ] "cache-control" => array:1 [▶ 0 => "no-cache, private" ] "date" => array:1 [▶ 0 => "Wed, 09 Apr 2025 11:58:51 GMT" ] "x-ratelimit-limit" => array:1 [▶ 0 => "60" ] "x-ratelimit-remaining" => array:1 [▶ 0 => "58" ] "set-cookie" => array:2 [▶ 0 => "XSRF-TOKEN=eyJpdiI6IkoyUkh2WU91U05xM0FnaHZvSjBxdVE9PSIsInZhbHVlIjoid3J6N1RKd05mVlJRcytDVTRtejdka0J6Zjl0SmFCSkx0S1hZREtUZ0tKamZwS0JOZWRvZTJVdnpDZFF4UEZKUmJlVnR5S2ZrUklPUWxtdWVPZ29XT3BJUjZJelR3Nm5IN3Y2emtsTjUwbEJoRVdGbGYrb2VNTWo3endncFV5L1MiLCJtYWMiOiJmZTBhYTdmYjljZWEyZTA2ODYxMmRiNWFkNGJiNDJhNDMwYjQ4MTk0NmMyZGE4OTJiNWFkOWU1N2UwYmU2NzY4IiwidGFnIjoiIn0%3D; expires=Thu, 10 Apr 2025 11:58:51 GMT; Max-Age=86400; path=/; secure ◀XSRF-TOKEN=eyJpdiI6IkoyUkh2WU91U05xM0FnaHZvSjBxdVE9PSIsInZhbHVlIjoid3J6N1RKd05mVlJRcytDVTRtejdka0J6Zjl0SmFCSkx0S1hZREtUZ0tKamZwS0JOZWRvZTJVdnpDZFF4UEZKUmJlVnR5S ▶" 1 => "satt_academy_session=eyJpdiI6IjQxdzcwU2l4SkU4Z2w3cjNvVS8xSGc9PSIsInZhbHVlIjoiYnVRanQ0MTA3MjFVVmR6Sjk1aXdNdEZpYnl5dWNiZTliWFVKUFQxYlE2ZlJMZm94cWZ2WUJWdmVkZ0NOYW14a3ZyV2VIY0hOaXYwWDBmRzdKdzJTL1ZvK2NDK2hJUmdwaU5nMGsrRXp2K0VmNk1MM3pKYWlLWFo3YjdBWmFxRlUiLCJtYWMiOiJmOGU0YzliNjZlODAyZmEyNTM5NWU1MzU2YTFjN2FiMzhhMWZkY2Q3ZmMwMDg5OGM4N2MxMDYzODYyMjhmMzhmIiwidGFnIjoiIn0%3D; expires=Thu, 10 Apr 2025 11:58:51 GMT; Max-Age=86400; path=/; secure; httponly ◀satt_academy_session=eyJpdiI6IjQxdzcwU2l4SkU4Z2w3cjNvVS8xSGc9PSIsInZhbHVlIjoiYnVRanQ0MTA3MjFVVmR6Sjk1aXdNdEZpYnl5dWNiZTliWFVKUFQxYlE2ZlJMZm94cWZ2WUJWdmVkZ0NOYW1 ▶" ] "Set-Cookie" => array:2 [▶ 0 => "XSRF-TOKEN=eyJpdiI6IkoyUkh2WU91U05xM0FnaHZvSjBxdVE9PSIsInZhbHVlIjoid3J6N1RKd05mVlJRcytDVTRtejdka0J6Zjl0SmFCSkx0S1hZREtUZ0tKamZwS0JOZWRvZTJVdnpDZFF4UEZKUmJlVnR5S2ZrUklPUWxtdWVPZ29XT3BJUjZJelR3Nm5IN3Y2emtsTjUwbEJoRVdGbGYrb2VNTWo3endncFV5L1MiLCJtYWMiOiJmZTBhYTdmYjljZWEyZTA2ODYxMmRiNWFkNGJiNDJhNDMwYjQ4MTk0NmMyZGE4OTJiNWFkOWU1N2UwYmU2NzY4IiwidGFnIjoiIn0%3D; expires=Thu, 10-Apr-2025 11:58:51 GMT; path=/; secure ◀XSRF-TOKEN=eyJpdiI6IkoyUkh2WU91U05xM0FnaHZvSjBxdVE9PSIsInZhbHVlIjoid3J6N1RKd05mVlJRcytDVTRtejdka0J6Zjl0SmFCSkx0S1hZREtUZ0tKamZwS0JOZWRvZTJVdnpDZFF4UEZKUmJlVnR5S ▶" 1 => "satt_academy_session=eyJpdiI6IjQxdzcwU2l4SkU4Z2w3cjNvVS8xSGc9PSIsInZhbHVlIjoiYnVRanQ0MTA3MjFVVmR6Sjk1aXdNdEZpYnl5dWNiZTliWFVKUFQxYlE2ZlJMZm94cWZ2WUJWdmVkZ0NOYW14a3ZyV2VIY0hOaXYwWDBmRzdKdzJTL1ZvK2NDK2hJUmdwaU5nMGsrRXp2K0VmNk1MM3pKYWlLWFo3YjdBWmFxRlUiLCJtYWMiOiJmOGU0YzliNjZlODAyZmEyNTM5NWU1MzU2YTFjN2FiMzhhMWZkY2Q3ZmMwMDg5OGM4N2MxMDYzODYyMjhmMzhmIiwidGFnIjoiIn0%3D; expires=Thu, 10-Apr-2025 11:58:51 GMT; path=/; secure; httponly ◀satt_academy_session=eyJpdiI6IjQxdzcwU2l4SkU4Z2w3cjNvVS8xSGc9PSIsInZhbHVlIjoiYnVRanQ0MTA3MjFVVmR6Sjk1aXdNdEZpYnl5dWNiZTliWFVKUFQxYlE2ZlJMZm94cWZ2WUJWdmVkZ0NOYW1 ▶" ]]

0 of 0

array:3 [▼"_token" => "zqGbGbeqftEA1O6IEr19rrHC4ZqJNlu5lzD01l2x" "_previous" => array:1 [▶ "url" => "https://debugerror.xyz/academy/%E0%A6%B2%E0%A7%87%E0%A6%96%E0%A6%9A%E0%A6%BF%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A7%87%E0%A6%B0-%E0%A6%B8%E0%A6%BE%E0%A6%B9%E0%A6%BE%E0%A6%AF%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A7%87-%E0%A6%B8%E0%A6%B0%E0%A6%B2-%E0%A6%B8%E0%A6%B9%E0%A6%B8%E0%A6%AE%E0%A7%80%E0%A6%95%E0%A6%B0%E0%A6%A3%E0%A7%87%E0%A6%B0-%E0%A6%B8%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%A7%E0%A6%BE%E0%A6%A8-10421 ◀https://debugerror.xyz/academy/%E0%A6%B2%E0%A7%87%E0%A6%96%E0%A6%9A%E0%A6%BF%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A7%87%E0%A6%B0-%E0%A6%B8%E0%A6%BE%E0%A6%B9%E0%A6%BE%E ▶" ] "_flash" => array:2 [▶ "old" => [] "new" => [] ]]

	Date ↕	Method	URL	Data
#1	2025-04-09 17:58:51	GET	/academy/%E0%A6%B2%E0%A7%87%E0%A6%96%E0%A6%9A%E0%A6%BF%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A7%87%E0%A6%B0-%E0%A6%B8%E0%A6%BE%E0%A6%B9%E0%A6%BE%E0%A6%AF%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A7%87-%E0%A6%B8%E0%A6%B0%E0%A6%B2-%E0%A6%B8%E0%A6%B9%E0%A6%B8%E0%A6%AE%E0%A7%80%E0%A6%95%E0%A6%B0%E0%A6%A3%E0%A7%87%E0%A6%B0-%E0%A6%B8%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%A7%E0%A6%BE%E0%A6%A8-10421	49 21 114

Date ↕

Method

URL

Data

2025-04-09 17:58:51

GET

/academy/%E0%A6%B2%E0%A7%87%E0%A6%96%E0%A6%9A%E0%A6%BF%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A7%87%E0%A6%B0-%E0%A6%B8%E0%A6%BE%E0%A6%B9%E0%A6%BE%E0%A6%AF%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A7%87-%E0%A6%B8%E0%A6%B0%E0%A6%B2-%E0%A6%B8%E0%A6%B9%E0%A6%B8%E0%A6%AE%E0%A7%80%E0%A6%95%E0%A6%B0%E0%A6%A3%E0%A7%87%E0%A6%B0-%E0%A6%B8%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%A7%E0%A6%BE%E0%A6%A8-10421

49 21 114

1 x Application (70.44%)	62.06ms
1 x Booting (29.55%)	26.03ms

Bindings	0: লেখচিত্রের-সাহায্যে-সরল-সহসমীকরণের-সমাধান-10421
Backtrace	app/Repositories/SubjectRepository.php:94 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:427 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/CacheManager.php:453 app/Repositories/SubjectRepository.php:91 app/Services/SubjectService.php:32

Bindings	0: 2025-04-09 17:58:51 1: 15321
Backtrace	app/Services/SubjectService.php:43 app/Http/Controllers/Academy/SubjectController.php:105 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Controller.php:54 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/ControllerDispatcher.php:44 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Route.php:266

Bindings	0: 15321
Backtrace	vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:38 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:60 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:235 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:227 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:305

Bindings	0: 39729 1: 39730
Backtrace	vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:305 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:321 app/Repositories/SubjectRepository.php:285 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:427 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/CacheManager.php:453

Bindings	0: App\Models\Subject
Backtrace	vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:305 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:321 app/Repositories/SubjectRepository.php:285 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:427 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/CacheManager.php:453

Bindings	0: App\Models\Question 1: active
Backtrace	vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:305 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:321 app/Repositories/SubjectRepository.php:285 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:427 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/CacheManager.php:453

Bindings	0: 39730 1: 15321
Backtrace	app/Repositories/SubjectRepository.php:125 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:427 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/CacheManager.php:453 app/Repositories/SubjectRepository.php:121 app/Services/SubjectService.php:60

Bindings	0: 7877
Backtrace	app/Repositories/SubjectRepository.php:140 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:427 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/CacheManager.php:453 app/Repositories/SubjectRepository.php:136 app/Services/SubjectService.php:61

Bindings	0: 7527
Backtrace	vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:38 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:60 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:235 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:227 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:305

Bindings	0: 39615 1: 39812
Backtrace	vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:305 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:321 app/Repositories/SubjectRepository.php:293 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:427 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/CacheManager.php:453

Bindings	0: App\Models\Subject 1: 15321
Backtrace	app/Repositories/SubjectRepository.php:325 app/Services/SubjectService.php:76 app/Http/Controllers/Academy/SubjectController.php:105 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Controller.php:54 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/ControllerDispatcher.php:44

Bindings	0: 0 1: youtube
Backtrace	app/Repositories/SubjectRepository.php:340 app/Services/SubjectService.php:77 app/Http/Controllers/Academy/SubjectController.php:105 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Controller.php:54 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/ControllerDispatcher.php:44

Bindings	0: 15321 1: 7877 2: 2
Backtrace	app/Services/SubjectService.php:82 app/Http/Controllers/Academy/SubjectController.php:105 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Controller.php:54 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/ControllerDispatcher.php:44 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Route.php:266

Bindings	0: active
Backtrace	view::includes.restrict:30 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Filesystem/Filesystem.php:124 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/View/Engines/PhpEngine.php:58 vendor/livewire/livewire/src/Mechanisms/ExtendBlade/ExtendedCompilerEngine.php:22 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/View/Engines/CompilerEngine.php:75

লেখচিত্রের সাহায্যে সরল সহসমীকরণের সমাধান (৬.৪)

স্যাট অ্যাকাডেমী অ্যাপ

All Notifications

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Promotion